Equações biquadradas

Equações biquadradas é uma equação escrita da seguinte forma geral: ax⁴ + bx2 + c = 0. Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau. 

Para melhor compreensão veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada. 

y⁴ – 10y² + 9 = 0 → equação biquadrada 

(y²)² – 10y² + 9 = 0 → também pode ser escrita assim. 

Substituindo variáveis: 

y² = x, isso significa que onde for y² iremos colocar x. 

x² – 10x + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x¹ e x² 

a = 1    b = -10     c = 9 

∆ = b² – 4ac 
∆ = (-10)² – 4 . 1 . 9 
∆ = 100 – 36 
∆ = 64 

x = - b ± √∆             2a 

x = -(-10) ± √64 
             2 . 1 

x = 10 ± 8 
           2 

x¹ = 9

x² = 1 

Essas são as raízes da equação x² – 10x + 9 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada y⁴– 10y2 + 9 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em y² = x. 

Para x = 9 
y² = x 
y² = 9 
y = √9 
y = ± 3 

Para x = 1 
y² = x 
y² = 1 
y = √1 
y = ±1 

Portanto, o conjunto solução ou conjunto verdade da equação biquadrada será: 
S = {-3, -1, 1, 3} / V =  {-3, -1, 1, 3}

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

Forma fatorada de uma equação do 2º grau

a (x-x¹) . (x-x²) = 0

Exemplo 1:

x² - 7x + 12 = 0

∆ = b² - 4.a.c

∆ = (-7)² - 4.1.12

∆ = 49 - 48

∆ =1




x = ( -b ± √∆ )
     ---------------        
            2a

x = - ( -7 ) ± √1
      -----------------        

            2.1

x = (7 ± 1)
     ----------
         2

x' = (7+1)         8
     ----------  = ------ = 4
         2              2

x'' = (7+1)         6
     ----------  = ------ = 3
         2              2

(x-4) (x-3)

Relação das raízes da equação de 2º Grau

Em uma equação do 2º grau, as raízes resultantes das operações matemáticas dependem do valor do discriminante. As situações decorrentes são as seguintes:

∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes.

∆ = 0, a equação possui uma única raiz real.

∆ < 0, a equação não possui raízes reais.

Na Matemática, o discriminante da equação do 2º grau é representado pelo símbolo ∆ (delta).

Quando existirem as raízes dessa equação, no formato ax² + bx + c = 0, elas serão calculadas de acordo com as expressões matemáticas:

Existe uma relação entre a soma e o produto dessas raízes, que é dada pelas seguintes fórmulas:

Por exemplo, na equação do 2º grau x² – 7x + 10 = 0 temos que os coeficientes valem:   a = 1, b = – 7 e c = 10.

Com base nesses resultados podemos observar que as raízes dessa equação são 2 e 5, pois 2 + 5 = 7 e 2 * 5 = 10.

Observe outro exemplo:

Vamos determinar a soma e o produto das raízes da seguinte equação: x² – 7x + 12 = 0.

As raízes da equação são 4 e 3, pois 4 + 3 = 7 e 4 * 3 = 12.

Por Marcos Noé
Graduado em Matematica
Equipe Brasil Escola

Equações literais

As equações literais do 2º grau são conhecidas por possuírem os coeficientes representados por letras. Esse modelo de equação é utilizado no intuito de aprimorar o desenvolvimento da expressão de Bhaskara, dado os coeficientes numéricos das equações de 2º grau. Dessa forma, ao iniciar esse conteúdo, trabalhe a resolução desse modelo de equação, lembrando que uma equação literal possui como solução uma relação de dependência entre a incógnita e o coeficiente literal.

Apresente exemplos de equações literais do 2º grau e os coeficientes relacionados à incógnita da equação. Veja:

x² – 7ax + 10a² = 0 (a > 0)

Coeficientes:a = 1b = –7ac = 10a²
Coeficientes:
a = 1
b = m + 3
c = 3m
Coeficientes:
a = 1
b = 8m
c = 0
Coeficientes:
a = p
b = –4x
c = 4p
Apresente modelos de equações literais resolvidas utilizando o método de Bhaskara para as equações completas e os métodos da fatoração para as incompletas.

x² – (m + 3)x + 3m = 0 (m > 3)

x² + 8mx = 0 

px² – 4x + 4px = 0 (p ≠ 0)

Incompleta

x² + 8mx = 0 (aplicar fator comum em evidência)
x * (x + 8m) = 0

x’ = 0

x + 8m = 0
x’’ = –8m

Conjunto Solução: {x’ = 0 e x’’ = –8m}

Completa

x² – 3ax + 2a² = 0 (a > 0)

a = 1, b = –3a e c = 2a²

∆ = b² – 4ac
∆ = (–3a)² – 4 * 1 * 2a²
∆ = 9a² – 8a²
∆ = a²

Conjunto Solução: {x’ = 2a e x’’ = a}
 

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Equações do 2° grau

Denomina-se equação do 2° grau, qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à forma ax² + bx + c = 0.

Equação completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

2 x² + 7x + 5 = 0, onde a = 2, b = 7 e c = 5
3 x² + x + 2 = 0, onde a = 3 , b = 1 e c = 2
x² -7 x + 10 = 0, onde a = 1, b = -7 e c = 10
5x² - x -3 = 0, onde a = 5, b = -1 e c = -3

Equação incompleta do segundo grau

Toda equação do 2º grau em que os coeficientes a e b assumem valores iguais a zero, é considerada uma equação incompleta do 2º grau. 

Exemplos:

2x² + 2x = 0 (equação incompleta, c = 0) 
x² - 9 = 0 (equação incompleta, b = 0) 


Delta

Δ = b²- 4ac

OBSERVAÇÃO: 

Δ > 0 , a equação te duas raízes reais e diferentes.
Δ = 0, a equação tem uma raiz 
Δ < 0 , a equação não tem raízes reais 



Fórmula de bhaskara