quarta-feira, 27 de novembro de 2013

Área do paralelogramo

A geometria plana é umas das partes da matemática com maior utilização em situações cotidianas. Diariamente nos vemos numa ocasião em que é necessário calcular o comprimento de algo, a área de algum lugar, a distância entre dois pontos, etc. A construção civil é uma das áreas que faz muito uso das fórmulas e conceitos da geometria. Vamos fazer o estudo de como se determina a área de um paralelogramo.
Primeiro, vamos definir o que é um paralelogramo. Todo quadrilátero que possui os lados oposto paralelos é chamado de paralelogramo. Dessa forma, podemos dizer que o quadrado, o retângulo e o losango são exemplos de paralelogramos.
Para encontrarmos a área de um paralelogramo é necessário conhecer somente as medidas da base e de sua altura. Sabendo as medidas desses elementos, a área do paralelogramo será dada por:
Vamos resolver alguns exemplos para compreender melhor o uso da fórmula acima.
Exemplo 1. Calcule a área de um paralelogramo cuja base mede 15 cm e a altura 12 cm.

Solução: De acordo com o enunciado do problema, sabemos que b = 15 cm e h = 12 cm.

Assim, podemos aplicar a fórmula da área do paralelogramo.

A = base x altura
A = 15 x 12
A = 180 cm2.


Não se esqueça que as unidades de medida de área sempre estão elevadas ao quadrado: m2, cm2, km2, etc.

Exemplo 2. Determine a área da figura abaixo:

Solução: A figura acima é um paralelogramo (veja os lados opostos paralelos) cuja base mede 25 cm e a altura, 20 cm. Observe que a altura forma um ângulo de 90o (ângulo reto) com a base. Como sabemos as medidas da altura e da base, basta utilizar a fórmula da área. Assim, teremos:

A = base x altura
A = 25 x 20
A = 500 cm2

Portanto, o paralelogramo da figura apresenta uma área de 500 cm2.

Área do retângulo e do quadrado

Existem dois tipos de retângulos: com os lados todos iguais (quadrado) e com os lados diferentes.



No cálculo de qualquer retângulo podemos seguir o raciocínio abaixo:




Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos que há 24 quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como sabemos que a área é a medida da superfície de uma figuras podemos dizer que 24 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo.



O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, só que representado de forma diferente. O cálculo da área do retângulo pode ficar também da seguinte forma:

A = 6 . 4
A = 24 cm2

Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é:




A = b . h


Quadrado 

É um tipo de retângulo específico, pois tem todos os lados iguais. Sua área também é calculada com o produto da base pela altura. Mas podemos resumir essa fórmula:


Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é igual a e a altura igual a , então, substituindo na fórmula A = b . h, temos:

A =  .   

Área do losango

O losango é um quadrilátero (polígono com quatro lados) que possui lados opostos paralelos e congruentes (todos os lados tem a mesma medida) e duas diagonais que se interceptam exatamente no ponto médio de cada uma e são perpendiculares. Todo losango é também paralelogramo.
Como as diagonais do losango se interceptam em seus pontos médios sob um ângulo reto (formam um ângulo de 90°), podemos obter a área do losango a partir da área de um retângulo.
Considere o losango cujas medidas das diagonais são D (diagonal maior) e d (diagonal menor):
Pelos vértices do losango, traçamos paralelas às diagonais e obtemos o retângulo ACBD:
O losango ocupa a metade da superfície do retângulo ABCD. Como a área do retângulo é:
A = b . h
Então a área do losango é:
Onde b = d e h = D
b é a medida da base do retângulo
d é a medida da diagonal menor do losango
h é a medida da altura do retângulo
D é a medida da diagonal maior do losango

Temos então:


Podemos também obter a área do losango de outra maneira:


Onde:
  • l é a medida dos lados do losango
  • d é a medida da diagonal menor, pois é a menor diagonal
  • D é a medida da diagonal maior
Se olharmos para a figura abaixo, o losango nada mais é que a união de dois triângulos congruentes, ou seja, triângulos iguais com todas as medidas iguais.
Então basta somarmos as áreas dos dois triângulos e vamos obter a área do losango. Portanto vamos fazer isso, somar a área dos dois triângulos. Como os dois triângulos têm a mesma medida, basta pegar o dobro da área.
Sabemos que a área do triângulo é  


Porém b = d e h = D / 2 . Onde:
  • b é a medida da base do retângulo
  • d é a medida da diagonal menor do losango
  • h é a medida da altura do retângulo
  • D/2 é a medida da metade da diagonal maior do losango
Então o dobro da área do triângulo é:
Multiplicamos por dois porque queremos o dobro.

Temos que:


ou seja, a área do losango é diagonal menor multiplicado pela diagonal maior dividido tudo por dois.

Área do trapézio

A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo que é calculada utilizando a seguinte fórmula: A = b . h (b = base e h = altura). 
                                           2 

Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área): 



Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e por uma altura (h). 

Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo em dois triângulos, veja como: 

Primeiro: completamos as alturas no trapézio: 



Segundo: o dividimos em dois triângulos:


A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos dois triângulos (∆CFD e ∆CEF). 
Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo separadamente observamos que eles possuem bases diferentes e alturas iguais. 

Cálculo da área do ∆CEF: 

A∆1 = B . h 
               2 


Cálculo da área do ∆CFD: 

A∆2 = b . h 
               2 


Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da área de um trapézio qualquer: 

AT = A∆1 + A∆2 

AT = B . h + b . h 
             2         2 

AT = B . h + b . h → colocar a altura (h) em evidência, pois é um termo comum aos dois fatores. 
                  2 

AT = h (B + b) 
                  2 


Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer utilizamos a seguinte fórmula: 

A = h (B + b) 
              2
 


h = altura 
B = base maior do trapézio 
b = base menor do trapézio

Área do triângulo

Nos estudos relacionados à Geometria, o triângulo é considerado uma das figuras mais importantes em razão da sua imensa utilidade no cotidiano. Com o auxílio de um retângulo e suas propriedades, demonstraremos como calcular a área de um triângulo. 

No retângulo a seguir foi traçada uma de suas diagonais, dividindo a figura em duas partes iguais. 

Note que a área total do retângulo é dada pela expressão A = b x h, considerando que a diagonal dividiu o retângulo em duas partes iguais formando dois triângulos, a área de cada triângulo será igual à metade da área total do retângulo, constituindo na seguinte expressão matemática: 

A utilização dessa expressão necessita da altura do triângulo, sendo identificada como uma reta perpendicular à base, isto é, forma com a base um ângulo de 90º.
     
Exemplo 1 

Observe o triângulo equilátero (possui os lados com medidas iguais). Vamos calcular a sua área:

     
Como o valor da altura não está indicado, devemos calculá-lo, para isso utilizaremos o teorema de Pitágoras no seguinte triângulo retângulo: 

   


4= h2 + 22 
16 = h2 + 4 
16 – 4 = h2 
12 = h2 
h = √12 
h = 2√3 cm 


Calculado o valor da altura, basta utilizar a fórmula demonstrada para obter a área da região triangular. 

Portanto, a área do triângulo equilátero que possui os lados medindo 4cm é de 4√3cm2.

Área de uma circunferência

Para determinar a área de uma circunferência, parte-se da definição de circunferências concêntricas, que são regiões circulares que possuem o mesmo centro, observe a ilustração:
                                                           


Vamos supor que as circunferências concêntricas sejam fios (barbantes). Traçando um corte do centro até a extremidade do maior círculo, tem-se a figura a seguir:
  

Esticando os fios, a figura formada lembra um triângulo. Se calcularmos sua área, determinaremos a área da circunferência, mas vale ressaltar que a altura desse triângulo corresponde ao raio da maior circunferência; e a base do triângulo, ao comprimento da circunferência.


Lembrando que a área do triângulo é calculada de acordo com a seguinte expressão:

  .

Assim, a área da circunferência será:

                                       

Comprimento de uma circunferência

Teorema de Pitágoras

O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”
Hip² = c² + c²

Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.



x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
x² =± √225
x = ±15
x = + 15

Trigonometria