Valor máximo e mínimo da função quadrática

Considere uma função do 2º grau qualquer, do tipo f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. Sabemos que seu gráfico é uma parábola e que a concavidade da parábola varia de acordo com o coeficiente a. Ou seja:
Se a < 0 → a concavidade da parábola é voltada para baixo; 
Se a > 0 → a concavidade da parábola é voltada para cima; 

Sabemos também que o valor de Δ = b² – 4ac determina quantos pontos a parábola intercepta o eixo x. Ou seja:
Δ > 0 → a função tem duas raízes reais, logo intercepta o eixo x em dois pontos; 
Δ < 0 → a função não possui raízes reais, logo não intercepta o eixo x; 
Δ = 0 → a função possui apenas uma raiz real, logo intercepta o eixo x em apenas um ponto; 

Vimos anteriormente que o vértice da parábola pode ser um ponto de mínimo absoluto ou de máximo absoluto, e o que determina um caso ou outro é a concavidade da parábola. 

Se a concavidade for voltada para baixo, a função apresenta ponto de máximo absoluto. 
Se a concavidade for voltada para cima, a função apresenta ponto de mínimo absoluto. 

As coordenadas do vértice da parábola são dadas por: 

Exemplo 1: Dadas as funções abaixo, determine se elas possuem ponto de máximo ou mínimo absoluto e as coordenadas desses pontos. 

a) f(x) = 3x² – 4x + 1 

Solução: Observando a função, podemos afirmar que a = 3 > 0. Portanto, o gráfico da função é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Isso implica que a função apresenta um ponto de mínimo absoluto. Vimos que esse ponto é o vértice da parábola e para determinar suas coordenadas utilizamos as fórmulas: 

 Dessa forma, o ponto de máximo absoluto, que é o vértice da parábola, tem coordenadas:

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática