Inequações do 2º grau

As inequações são expressões matemáticas que utilizam, na sua formatação, os seguintes sinais de desigualdades:

>: maior que
<: menor que
≥: maior ou igual
≤: menor ou igual
≠: diferente

As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.

Exemplo 1
Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.

S = {x ? R / –7/3 < x < –1}

Regrinhas:
1° Realizar um estudo do sinal da função y= ax² + bx +c.
2° Determinar os valores de x que atendam à desigualdade da inequação.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Estudo do sinal de uma função quadrática

Regrinhas:

1° Calcular o(s) zero(s) da função.

OBS: O(s) zero(s) da função são os valores de “x” que tornaram a função NULA.
2°  Para verificar os valores de “x” que tornam a função positiva ou negativa, basta pegar o antecessor e o sucessor do(s) o(s) zero(s) da função e substituir em “x“ pra verificar se a função é positiva, negativa ou nula, conforme foi realizado no exemplo em sala de aula e que vocês copiaram no caderno.

3° Após a substituição, deve-se escrever os valores de “x” que tornam a função positiva, negativa ou nula.

Observação importante!

Y > 0 – Função POSITIVA.
Y < 0 – Função NEGATIVA.
Y = 0 – Função NULA

Valor máximo e mínimo da função quadrática

Considere uma função do 2º grau qualquer, do tipo f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. Sabemos que seu gráfico é uma parábola e que a concavidade da parábola varia de acordo com o coeficiente a. Ou seja:
Se a < 0 → a concavidade da parábola é voltada para baixo; 
Se a > 0 → a concavidade da parábola é voltada para cima; 

Sabemos também que o valor de Δ = b² – 4ac determina quantos pontos a parábola intercepta o eixo x. Ou seja:
Δ > 0 → a função tem duas raízes reais, logo intercepta o eixo x em dois pontos; 
Δ < 0 → a função não possui raízes reais, logo não intercepta o eixo x; 
Δ = 0 → a função possui apenas uma raiz real, logo intercepta o eixo x em apenas um ponto; 

Vimos anteriormente que o vértice da parábola pode ser um ponto de mínimo absoluto ou de máximo absoluto, e o que determina um caso ou outro é a concavidade da parábola. 

Se a concavidade for voltada para baixo, a função apresenta ponto de máximo absoluto. 
Se a concavidade for voltada para cima, a função apresenta ponto de mínimo absoluto. 

As coordenadas do vértice da parábola são dadas por: 

Exemplo 1: Dadas as funções abaixo, determine se elas possuem ponto de máximo ou mínimo absoluto e as coordenadas desses pontos. 

a) f(x) = 3x² – 4x + 1 

Solução: Observando a função, podemos afirmar que a = 3 > 0. Portanto, o gráfico da função é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Isso implica que a função apresenta um ponto de mínimo absoluto. Vimos que esse ponto é o vértice da parábola e para determinar suas coordenadas utilizamos as fórmulas: 

 Dessa forma, o ponto de máximo absoluto, que é o vértice da parábola, tem coordenadas:

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática

Coordenadas do vértice

Para determinarmos os vértices de uma parábola temos que encontrar o par ordenado de pontos que constituem as coordenadas de retorno da parábola. Esse ponto de retorno da parábola, mais conhecido como vértice da parábola, pode ser calculado com base nas expressões matemáticas envolvendo os coeficientes da função do 2º grau dada pela lei de formação y = ax² + bx + c. 

O valor de x na determinação do vértice de uma parábola é dado por  e o valor de y é calculado por  . Nesse caso, temos que, quando o coeficiente a for maior que zero, a parábola possui valor mínimo e quando a menor que zero, valor máximo. 


Valor mínimo (a > 0)

Valor máximo (a < 0) 

Exemplo 
Para produzirmos x unidades de uma mercadoria, temos que o custo dessa produção em reais é dado pela expressão matemática C = x² – 80x + 3000. Com base nessa expressão, determine a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo e qual o valor mínimo do custo. 

Quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo será de 40 peças. 

Observe:

Valor mínimo do custo será de R$ 1 400,00. 

Veja:

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Função quadrática

 Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.

Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

1. f(x) = 3x² - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2. f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
3. f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
4. f(x) = - x² + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
5. f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0

 Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = x² + x:

Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y -3 6 -2 2 -1 0 0 0 1 2 2 6

Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax² + bx + c, notaremos sempre que:

• se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau

    Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

    Então as raízes da função f(x) = ax² + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

  

Temos:

                    

Observação

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ,  chamado discriminante, a saber:

• quando  é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando  é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
• quando  é negativo, não há raiz real.

Inequação do 1° grau

Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:

ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.

Onde a, b são números reais com a ≠ 0.

Exemplos:

-2x + 7 > 0
x – 10 ≤ 0
2x + 5 ≤ 0
12 – x < 0

Resolvendo uma inequação de 1° grau

Uma maneira simples de resolver uma equação do 1° grau é isolarmos a incógnita x em um dos membros da igualdade. Observe dois exemplos:

Exemplo1: Resolva a inequação -2x + 7 > 0.

Solução:

-2x > -7

Multiplicando por (-1)

2x < 7
x < 7/2

Portanto a solução da inequação é x < 7/2.

Exemplo 2: Resolva a inequação 2x – 6 < 0.

Solução:
2x < 6
x < 6/2
x < 3

Portanto a solução da inequação e x < 3

Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento:

1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;
2. Localiza-se a raiz no eixo x;
3. Estuda-se o sinal conforme o caso.

Exemplo 1:

-2x + 7 > 0
-2x + 7 = 0
x = 7/2

Exemplo 2:

2x – 6 < 0
2x – 6 = 0
x = 3

Zero da função, variação da função e estudo do sinal

Zero da Função

Denominamos zero da função o valor de x para o qual a função de x é igual a zero, ou seja, o valor de x que faz com que y seja igual a zero.

Exemplo:

Determine o zero da função definida por y = 2x - 2:

2x - 2 = 0

2x = 2

x = 2/2

x = 1

Variação da função 

Se em em uma função, aumentando o valor para x, o valor da função aumenta, temos então uma função crescente. Mas, se aumentando o valor para x, o valor da função diminui, temos uma função decrescente.

Quando a > 0 a função será crescente.

Quando a < 0 a função será decrescente.

Quando a = 0 a função será constante.

   

Estudo do sinal da Função

Em uma função, podemos determinar os valores reais de x que a tornam positiva, negativa ou nula.

Quando y = 0 a função será nula.

Quando y > 0 a função será positiva.

Quando y < 0 a função será negativa.