Produto da soma pela diferença de 2 termos

Aplicando a propriedade distributiva 

 Expressão (a + b)(a – b). 
(a + b)(a – b) = a*a – a*b + b*a – b*b = a² – b² Note que os termos – ab e + ba são opostos, por isso se anulam. 

(2x + 4)(2x – 4) = 2x*2x – 2x*4 + 4*2x – 4*4 = 4x² – 8x + 8x – 16 = 4x² – 16 
(7x + 6)(7x – 6) = 7x*7x – 7x*6 + 6*7x – 6*6 = 49x² – 42x + 42x – 36 = 49x² – 36 
(10x³ – 12)(10x³ + 12) = 10x³*10x³ + 10x³*12 – 12*10x³ –12*12 = 100x6 + 120x³ – 120x³ – 144 = 100x⁶ – 144 
(20z + 10x)(20z – 10x) = 20z*20z – 20z*10x + 10x*20z – 10x*10x = 400z² – 200zx + 200xz – 100x² = 400z² – 100x² 


Aplicando a regra prática 
A aplicação da regra prática se dá através da seguinte situação: “o primeiro termo elevado ao quadrado menos o segundo termo elevado ao quadrado” 

(4x + 7)(4x – 7) = (4x)² – (7)² = 16x² – 49 
(12x + 8)(12x – 8) = (12x)² – (8)² = 144x² – 64 
(11x² – 5x)(11x² + 5x) = (11x²)² – (5x)² = 121x⁴ – 25x² 

(20b – 30)(20b + 30) = (20b)² – (30)² = 400b² – 900 

Quadrado da soma e da diferença de 2 termos

Quadrado da soma.

Resolvendo algebricamente:

(a + b)² é o mesmo que (a + b) . (a + b)
Então, utilizando a propriedade distributiva vamos calcular:

(a + b) . (a + b) ------ utilizando a propriedade distributiva.


a ² + ab + ab + b ² ------ operar os termos semelhantes.

a ² + 2ab + b ²

Concluímos que:

(a + b) . (a + b) = (a + b)²

Quadrado da diferença.
As expressões que possuem a forma (a – b)² podem ser resolvidas de duas formas distintas: aplicando a propriedade distributiva da multiplicação ou a regra prática. 

Utilizando a propriedade distributiva. 
Expressão (a – b)². 
Pela definição de potenciação sabemos que (a – b)² pode ser escrito na forma 
(a – b)* (a – b). 

(a – b)* (a – b) = a*a – a*b – b*a + b*b = a² – 2ab + b² 
(x – 4)² = (x – 4) * (x – 4) = x*x – 4*x – 4*x + 4*4 = x² – 8x + 16 
(2y – 5)² = (2y – 5) * (2y – 5) = 2y*2y – 2y*5 – 5*2y + 5*5 = 4y² – 20y + 25 
(5a – 2b)² = (5a – 2b) * (5a – 2b) = 5a*5a – 5a*2b – 2b*5a + 2b*2b = 25a² – 20ab + 4b² 

Utilizando a regra prática. 
Expressão (a – b)². 
“O quadrado do primeiro termo menos, duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.” 

(y – 6)² = (y)² – 2*y*6 + (6)² = y² – 12y + 36 

(4b – 9)² = (4b)² – 2*4b*9 + (9)² = 16b² – 72b + 81 

(7y – 6x)² = (7y)² – 2*7y*6x + (6x)² = 49y² – 84xy + 36x² 

(10x – 2z)² = (10x)² – 2*10x*2z + (2z)² = 100x² – 40xz + 4z² 

Produtos notáveis

Os produtos notáveis são produtos de expressões algébricas utilizados com frequência e têm regras definidas que facilitam sua determinação.


(a + b)²  ~> Quadrado da soma de dois termos
(a – b)²  ~> Quadrado da diferença de dois termos 
(a + b)(a – b) ~>  Produto da soma pela diferença de dois termos 
(a + b)³ ~> Cubo da soma de dois termos  
(a – b)³ ~> Cubo da diferença de dois termos 

Polinômio

Qualquer adição algébrica de monômios denomina-se polinômio.

Adição:

Para fazermos f(x) + g(x) deveremos ter como resposta:

f(x) + g(x) = (a_n + b_n )xⁿ + (a_n-1 + b_n-1 )x^n-1 + … (a₂ + b₂ )x² + (a₁ + b₁ )x + (a₀ + b₀)

Exemplo: Sendo A(x) = 3x³ + 5x² – 3x + 4, e B(x) = 4x³ – 2x² + 5

A(x) + B(x) = 7x³ + 3x² – 3x + 9

Subtração:

Para fazermos f(x) – g(x) deveremos ter como resposta:

f(x) – g(x) = (a_n – b_n )xⁿ + (a_n-1 – b_n-1 )x^n-1 + … (a₂ – b₂ )x² + (a₁ – b₁ )x + (a₀ – b₀)

Exemplo: Sendo P(x) = 3x³ + 5x² – 3x + 4, e Q(x) = 4x³ – 2x² + 2x + 5

P(x) – Q(x) = –x³ + 7x² – 5x – 1

Multiplicação:

Para fazermos f(x).g(x) deveremos ter como resposta:

f(x).g(x) = (a_nb_n )x^n+m +… (a₂b₀ + a₁b₁ + a₀b₂ )x² + (a₀b₁ + a₁b₀ )x + (a₀b₀)

Exemplo: Sendo A(x) = 3x³ + 5x² – 3x , e B(x) = 4x³ – 2x² + 5

A(x).B(x) = 12x⁶ – 6x⁵ +15x³ + 20x⁵ – 10x⁴ + 25x² – 12x⁴ + 6x³ – 15x =

= 12x⁶ +14 x⁵ –22x⁴ + 21x³ + 25x² – 15x

Divisão:

Dividir um polinômio f(x) (dividendo) por um g(x) (divisor diferente de 0) consiste em dividir f por g e determinar novos polinômios q(x) (quociente) e r (resto).

Assim temos que f(x) = g(x).q(x) + r(x) e que o grau de q(x) será sempre menor que f(x).
Se r(x) = 0 dizemos que a divisão é exata, ou ainda que o polinômio f(x) é divisível por g(x).

Método de divisão da chave 

Exemplo:
• Primeiro deve-se escolher o primeiro termo do quociente, que deve ser multiplicado pelos termos do divisor.

• Segundo passo é passar o inverso do resultado para subtrair do polinômio.

• Agora deve-se repetir o primeiro passo, escolher o termo conveniente para multiplicar pelo primeiro termo do divisor para que fique igual ao primeiro termo do polinômio que foi resultado do primeira operação.

• Repetir o mesmo processo do segundo passo.

Assim temos que q(x) = x + 4 e que r(x) = – x -3.

Monômio ou termo algébrico

Monômios ou termo algébrico é uma expressão algébrica racional inteira formada por um número real, ou apenas por uma variável real, ou pro uma multiplicação de números e  variáveis reais. 

Expressões algébricas ou literais

Toda  expressão  matemática composta de números e letras ou somente letras é denominada expressão algébrica ou literal.

Radiciação

A radiciação é uma operação matemática, sendo a raiz apenas uma forma de se representar a potenciação com expoente fracionário.

Exemplos :


Esta imagem representa a raiz cúbica de oito. A expressão matemática  é um radical, ela é composta pelo número 3 que é o índice da raiz, pelo símbolo da radiciação e pelo número 8 que é o seu radicando.