quarta-feira, 5 de setembro de 2012

Cubo da soma e da diferença de 2 termos




Cubo da Soma 

Temos que a expressão (a + b)³ pode ser escrita da seguinte forma: (a + b)² * (a + b). A decomposição permite aplicarmos o quadrado da soma na expressão (a + b)², multiplicando o resultado pela expressão (a + b). Veja: 

(a + b)² = a² + 2ab + b² → (a² + 2ab + b²) * (a + b) = a²*a + a²*b + 2ab*a + 2ab*b + b²*a + b²*b 
a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ → a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 
(2x + 3)³ = (2x + 3)² * (2x + 3) 
(2x + 3)² = (2x)² + 2*2x*3 + (3²) = 4x² + 12x + 9 
(4x² + 12x + 9) * (2x + 3) = 4x²*2x + 4x²*3 + 12x*2x + 12x*3 + 9*2x + 9*3 = 
8x³ + 12x² + 24x² + 36x + 18x + 27 = 8x³ + 36x² + 54x + 27 


Regra Prática 

“O cubo do primeiro termo mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo mais o cubo do segundo termo.” 
(x + 3)³ = (x)³ + 3*(x)²*3 + 3*x*(3)² + (3)³ = x³ + 9x² + 27x + 27 
(2b + 2)³ = (2b)³ + 3*(2b)²*2 + 3*2b*(2)² + (2)³ = 8b³ + 24b² + 24b + 8 


Cubo da Diferença 


O cubo da diferença pode ser desenvolvido de acordo com os princípios resolutivos do cubo da soma. A única alteração a ser efetuada é quanto à utilização do sinal negativo.

Regra prática 

“O cubo do primeiro termo menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo menos o cubo do segundo termo.” 

(x – 3)³ = (x)³ – 3*(x)²*3 + 3*x*(3)² – (3)³ = x³ – 9x² + 27x – 27 
(2b – 2)³ = (2b)³ – 3*(2b)²*2 + 3*2b*(2)² – (2)³ = 8b³ – 24b² + 24b – 8 

Produto da soma pela diferença de 2 termos



Aplicando a propriedade distributiva 

 Expressão (a + b)(a – b). 
(a + b)(a – b) = a*a – a*b + b*a – b*b = a² – b² Note que os termos – ab e + ba são opostos, por isso se anulam. 

(2x + 4)(2x – 4) = 2x*2x – 2x*4 + 4*2x – 4*4 = 4x² – 8x + 8x – 16 = 4x² – 16 
(7x + 6)(7x – 6) = 7x*7x – 7x*6 + 6*7x – 6*6 = 49x² – 42x + 42x – 36 = 49x² – 36 
(10x³ – 12)(10x³ + 12) = 10x³*10x³ + 10x³*12 – 12*10x³ –12*12 = 100x6 + 120x³ – 120x³ – 144 = 100x6 – 144 
(20z + 10x)(20z – 10x) = 20z*20z – 20z*10x + 10x*20z – 10x*10x = 400z² – 200zx + 200xz – 100x² = 400z² – 100x² 


Aplicando a regra prática 
A aplicação da regra prática se dá através da seguinte situação: “o primeiro termo elevado ao quadrado menos o segundo termo elevado ao quadrado” 

(4x + 7)(4x – 7) = (4x)² – (7)² = 16x² – 49 
(12x + 8)(12x – 8) = (12x)² – (8)² = 144x² – 64 
(11x² – 5x)(11x² + 5x) = (11x²)² – (5x)² = 121x4 – 25x² 

(20b – 30)(20b + 30) = (20b)² – (30)² = 
400b² – 900 

Quadrado da soma e da diferença de 2 termos


Quadrado da soma.

Resolvendo algebricamente:

(a + b)2 é o mesmo que (a + b) . (a + b)
Então, utilizando a propriedade distributiva vamos calcular:

(a + b) . (a + b) ------ utilizando a propriedade distributiva.


2 + ab + ab + b 2 ------ operar os termos semelhantes.

2 + 2ab + b 2

Concluímos que:

(a + b) . (a + b) = (a + b)2


Quadrado da diferença.
As expressões que possuem a forma (a – b)2 podem ser resolvidas de duas formas distintas: aplicando a propriedade distributiva da multiplicação ou a regra prática. 

Utilizando a propriedade distributiva

Expressão (a – b)2
Pela definição de potenciação sabemos que (a – b)2 pode ser escrito na forma 
(a – b)* (a – b)

(a – b)* (a – b) = a*a – a*b – b*a + b*b = a² – 2ab + b² 
(x – 4)² = (x – 4) * (x – 4) = x*x – 4*x – 4*x + 4*4 = x² – 8x + 16 
(2y – 5)² = (2y – 5) * (2y – 5) = 2y*2y – 2y*5 – 5*2y + 5*5 = 4y² – 20y + 25 
(5a – 2b)² = (5a – 2b) * (5a – 2b) = 5a*5a – 5a*2b – 2b*5a + 2b*2b = 25a² – 20ab + 4b² 

Utilizando a regra prática

Expressão (a – b)2
“O quadrado do primeiro termo menos, duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.” 

(y – 6)² = (y)² – 2*y*6 + (6)² = y² – 12y + 36 

(4b – 9)² = (4b)² – 2*4b*9 + (9)² = 16b² – 72b + 81 

(7y – 6x)² = (7y)² – 2*7y*6x + (6x)² = 49y² – 84xy + 36x² 

(10x – 2z)² = (10x)² – 2*10x*2z + (2z)² = 100x² – 40xz + 4z² 

Produtos notáveis

Os produtos notáveis são produtos de expressões algébricas utilizados com frequência e têm regras definidas que facilitam sua determinação.


(a + b)2  ~> Quadrado da soma de dois termos
(a – b)2  ~> Quadrado da diferença de dois termos 

(a + b)(a – b) ~>  Produto da soma pela diferença de dois termos 
(a + b)~> Cubo da soma de dois termos  
(a – b)3 ~> Cubo da diferença de dois termos 

Polinômio

Qualquer adição algébrica de monômios denomina-se polinômio.




Adição:

Para fazermos f(x) + g(x) deveremos ter como resposta:
f(x) + g(x) = (an + bn )xn + (an-1 + bn-1 )xn-1 + … (a2 + b2 )x2 + (a1 + b1 )x + (a0 + b0)

Exemplo: Sendo A(x) = 3x3 + 5x2 – 3x + 4, e B(x) = 4x3 – 2x2 + 5
A(x) + B(x) = 7x3 + 3x2 – 3x + 9

Subtração:

Para fazermos f(x) – g(x) deveremos ter como resposta:
f(x) – g(x) = (an – bn )xn + (an-1 – bn-1 )xn-1 + … (a2 – b2 )x2 + (a1 – b1 )x + (a0 – b0)

Exemplo: Sendo P(x) = 3x3 + 5x2 – 3x + 4, e Q(x) = 4x3 – 2x2 + 2x + 5
P(x) – Q(x) = –x3 + 7x2 – 5x – 1

Multiplicação:

Para fazermos f(x).g(x) deveremos ter como resposta:
f(x).g(x) = (anbn )xn+m +… (a2b0 + a1b1 + a0b2 )x2 + (a0b1 + a1b0 )x + (a0b0)

Exemplo: Sendo A(x) = 3x3 + 5x2 – 3x , e B(x) = 4x3 – 2x2 + 5
A(x).B(x) = 12x6 – 6x5 +15x3 + 20x5 – 10x4 + 25x2 – 12x4 + 6x3 – 15x =
= 12x6 +14 x5 –22x4 + 21x3 + 25x2 – 15x

Divisão:

Dividir um polinômio f(x) (dividendo) por um g(x) (divisor diferente de 0) consiste em dividir f por g e determinar novos polinômios q(x) (quociente) e r (resto).

Assim temos que f(x) = g(x).q(x) + r(x) e que o grau de q(x) será sempre menor que f(x).
Se r(x) = 0 dizemos que a divisão é exata, ou ainda que o polinômio f(x) é divisível por g(x).

Método de divisão da chave 

Exemplo:
• Primeiro deve-se escolher o primeiro termo do quociente, que deve ser multiplicado pelos termos do divisor.
• Segundo passo é passar o inverso do resultado para subtrair do polinômio.
• Agora deve-se repetir o primeiro passo, escolher o termo conveniente para multiplicar pelo primeiro termo do divisor para que fique igual ao primeiro termo do polinômio que foi resultado do primeira operação.
• Repetir o mesmo processo do segundo passo.
Assim temos que q(x) = x + 4 e que r(x) = – x -3.